Подготовка к олимпиаде по математике с решением и проверкой

Задание

Найдите стороны прямоугольника, площадь которого равна 40 см², а периметр равен 26 см.

Проверка знаний

Ответ (число):

см. - одна сторона прямоугольника;

см. - другая сторона прямоугольника.

Результат:

Создать типовую задачу

Электронный репетитор по математике. Здесь Вы можете создать типовую задачу на основе данной для индивидуальной работы, проверить свои знания, а также получить решение к новой задаче.

Решение

Для решения вспомним необходимые формулы.

Периметр - сумма длин всех сторон фигуры. Для прямоугольника:
P = a + a + b + b;
P = 2 ⋅ (a + b);

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:
S = a ⋅ b.

Как правило, в олимпиадах по математике в начальной школе используются простые числа и задачу можно решать методом подбора… Для этого перебирают числа, подставляя в формулы нахождения периметра и площади.
Очень часто длина сторон равна 1 см., 2 см. или числам табличного умножения в переделах 10.

Ниже показано решение в том виде, как его следует выполнять по действиям в 8 классе и старше.

1. Пусть x - одна сторона прямоугольника, а y - другая. Выразим сторону y через периметр:
   2 ⋅ (x + y) = 26 см.
   x + y = 26 : 2
   y = 13 - x
2. Подставим значение в формулу площади и решим уровнение:
   x ⋅ (13 - x) = 40
   13 x - x² - 40 = 0
   - x² + 13 x - 40 = 0
3. Решим квадратное уравнение через дискриминант по формуле:
   ax² + bx + c
   D = b² - 4ac
   x₁ = (-b - √D) : 2a
   x₂ = (-b +√D) : 2a
   
   D = 13² - 4 ⋅ (-1) ⋅ (-40)
   D = 169 - 160
   D = 9
   
   ₁ = (-13 - √9) : (2 ⋅ (-1))
   x₁ = (-13 - 3) : (-2)
   x₁ = 8
   
   x₂ = (-13 + √9) : (2 ⋅ (-1))
   x₂ = (-13 + 3) : (-2)
   x₂ = 5

Ответ

8 см. и 5 см.